Matemática 6to Año: 2009

martes, 24 de marzo de 2009

Triángulo de Tartaglia

A Tartaglia, matemático italiano del siglo XVI (al que se llamó así por ser tartamudo), para resaltar las propiedades de los números combinatorios, se le ocurrió disponerlos del siguiente modo:

${\color{white} --..}\binom{0}{0}\\ {\color{white} ---}\binom{1}{0}\binom{1}{1}\\ {\color{white} --}\binom{2}{0}\binom{2}{1}\binom{2}{2}\\ {\color{white} -}\binom{3}{0}\binom{3}{1}\binom{3}{2}\binom{3}{3}\\ \binom {4}{0}\binom{4}{1}\binom{4}{2}\binom{4}{3}\binom{4}{4}$

Los valores correspondientes son:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Copien la tabla en la carperta con 3 filas más.

Ambas tablas triangulares (la formada por los números combinatorios y la de los valores), se llaman Triángulo de Tartaglia

Binomio de Newton

Una aplicación inmediata de los números combinatorios se presenta en el desarrollo de la potencia de un binomio, con exponente natural, conocido como fórmula del binomio de Newton, y está dada por:

$\left (a+b \right )^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

Ejemplo:

$\left%20(a+b%20\right%20)^3=\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}a^{3-k}b^k=a^3+3.a^2b+3.ab^2+b^3$

Ejercicios:

Desarrollar por el binomio de Newton $\left (a+b \right )^5$ .
Desarrollar por el binomio de Newton $\left (x+\frac{1}{y} \right )^3$ .
Obtener los siguientes números combinatorios:
a)

jueves, 19 de marzo de 2009

Número combinatorio

Definición

$\binom{m}{n} = \frac{m!}{\left (m-n \right )!.n!}$

Propiedades del número combinatorio

$\binom{m}{0} = \frac{m!}{\left (m-0 \right )!.0!}=\frac{m!}{m!}=1$

$\binom{m}{1}=\frac{m!}{\left (m-1 \right )!.1!}=\frac{m.\left (m-1 \right )!}{\left (m-1 \right )!}=m$

$\binom{m}{m}=\frac{m!}{\left (m-m \right )!.m!}=\frac{m! }{m!}=1$

$\binom{m}{m-1}=m$

$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$

$\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}$

Demostración de la propiedad (en pdf)

miércoles, 18 de marzo de 2009

Sumatoria

El símbolo de sumatoria se utiliza para abreviar la notación de una suma cuyos términos admiten cierta ley de formación. En el ejemplo la variable es i, la ley de formación está dada por el cuadrado de la variable desde uno hasta cuatro.

$\sum_{i=1}^{4}i^2= 1^2+2^2+3^2+4^2$

El ejemplo anterior se lee "la sumatoria de i cuadrado con i variando desde 1 a 4"

Ejemplos:

$\sum_{i=2}^{5}2i=2.2+2.3+2.4+2.5=28$

$\sum_{h=0}^{6}2^h=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6=127$

Propiedades de la sumatoria:

$\sum_{i=1}^{n}\left (a_i+b_i \right )=\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{i=1}^{n}b_i$

$\sum_{i=1}^{n}\left (K.a_i \right )=K.\sum_{i=1}^{n}a_i$

Una fórmula importante:

$\sum_{i=1}^{n} i=\frac{n.\left (n+1 \right )}{2}$

martes, 17 de marzo de 2009

Combinatoria - Problemas de síntesis

Se distribuyen tres regalos distintos entre 5 chicos. De cuántas formas pueden hacerlo si:
a) Cada chico puede recibir sólo un regalo.
b) A cada chico le puede tocar más de un regalo.
c) Cada chico puede recibir sólo un regalo pero los tres regalos son idénticos.
En un barracón de un cuartel hay 16 soldados. ¿Cuántas guardias diferentes de tres soldados se pueden formar? Uno de los soldados se llama Juan. ¿En cuántas de estas guardias estará Juan?
En un plano hay rectas que no son paralelas, ni concurren tres en un mismo punto. Si el número de intersecciones es 55. ¿Cuántas rectas hay?

lunes, 16 de marzo de 2009

Combinatoria - Problemas para evaluar

Cón los dígitos 2, 3, 5 y 7.
a) ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar?
b) ¿Y si las cuatro cifras deben ser diferentes?
c) ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar?
Con 21 consonantes y 5 vocales:
a) ¿Cuántas palabras de 3 letras distintas pueden formar?
b) ¿Y si la letra central ha de ser vocal y las otras consonantes?

jueves, 12 de marzo de 2009

Combinatoria - Problemas para ejercitar

Si en un colectivo hay 10 asientos vacíos. ¿De cuántas formas pueden sentarse 7 personas?
¿De cuántas formas pueden sentarse 5 personas en una fila?
Un estudiante para aprobar un examen que consta de 10 preguntas, debe contestar 7 de ellas. ¿De cuántas maneras puede hacer la selección para aprobar el examen?
En un edificio en el que viven 25 personas adultas hay que formar una comisión interna de 3 personas. ¿Cuántas comisiones distintas pueden formarse?
En un grupo de 18 alumnos hay que formar un grupo de 6.
a) ¿De cuántas maneras puede hacerse?
b) ¿De cuántas maneras puede hacerse sabiendo que un alumno en particular, Fernando, debe integrar el grupo?
c) ¿De cuántas maneras puede hacerse excluyendo a Fernando?
¿De cuántas maneras pueden alinearse 10 personas sabiendo que 3 de ellas deben estar juntas?

martes, 10 de marzo de 2009

Combinatoria con repetición

Permutaciones con repetición

$Pr^{n}_{a,b,c}=\frac{n!}{a!.b!.c!}$

Variaciones con repetición

$Vr^{m}_{n}=m^n$

Combinaciones con repetición

$Cr^{m}_{n}=C^{m+n-1}_{n}$

jueves, 5 de marzo de 2009

Combinatoria - Problemas para empezar

¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 4 personas en 5 sillas?
¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 6 personas en 5 sillas?
¿Cuántas palabras de tres letras distintas (no importa el significado) se pueden formar con las letras de la palabra LOMA?
¿Cuántas palabras de tres letras (no importa el significado) se pueden formar con las letras de la palabra LOMA? Escriban todas ellas en forma ordenada.
¿Cuántas palabras de cuatro letras (no importa el significado) se pueden formar con las letras de la palabra LOMA?
¿Cuántos equipos de fútbol distintos se pueden formar con 16 jugadores y 2 arqueros?
¿Cuántos equipos de fútbol distintos se pueden formar con 16 jugadores y 2 arqueros, sabiendo que 3 jugadores son titulares indiscutidos?
¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?
¿Cuántos números pares de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?
¿Cuántos números pares de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?

miércoles, 4 de marzo de 2009

Combinatoria

Usaremos la combinatoria para encontrar el número de posibilidades que surgen de obtener distintas agrupaciones de ciertos elementos.

Permutaciones

$P_{n}=n!$

Variaciones

$V^m_{n}=\frac{m!}{\left (m-n \right )!}$

Combinaciones

$C^m_{n}=\frac{m!}{\left (m-n \right )!.n!}$

martes, 3 de marzo de 2009

Factorial

El factorial de un número natural n se define como el producto de todos los números naturales desde 1 hasta n.

$n!=n.\left (n-1 \right ).\left (n-2 \right ). \cdots .3.2.1$

El factorial de cero se define como 1.

$0!=1$

Ejemplos:

4! = 4.3.2.1 = 24
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

Matemática 6to Año