tag:blogger.com,1999:blog-91788726490875117982011-04-21T15:27:45.868-07:00roberprofnoreply@blogger.comBlogger111100tag:blogger.com,1999:blog-9178872649087511798.post-47137963652788373912009-03-24T04:24:00.000-07:002009-03-24T04:52:32.584-07:00A Tartaglia, matemático italiano del siglo XVI (al que se llamó así por ser tartamudo), para resaltar las propiedades de los números combinatorios, se le ocurrió disponerlos del siguiente modo:<br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex={\color{white}%20--..}\binom{0}{0}\\%20{\color{white}%20---}\binom{1}{0}\binom{1}{1}\\%20{\color{white}%20--}\binom{2}{0}\binom{2}{1}\binom{2}{2}\\%20{\color{white}%20-}\binom{3}{0}\binom{3}{1}\binom{3}{2}\binom{3}{3}\\%20\binom%20{4}{0}\binom{4}{1}\binom{4}{2}\binom{4}{3}\binom{4}{4}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{white}%20--..}\binom{0}{0}\\%20{\color{white}%20---}\binom{1}{0}\binom{1}{1}\\%20{\color{white}%20--}\binom{2}{0}\binom{2}{1}\binom{2}{2}\\%20{\color{white}%20-}\binom{3}{0}\binom{3}{1}\binom{3}{2}\binom{3}{3}\\%20\binom%20{4}{0}\binom{4}{1}\binom{4}{2}\binom{4}{3}\binom{4}{4}" title="{\color{white} --..}\binom{0}{0}\\ {\color{white} ---}\binom{1}{0}\binom{1}{1}\\ {\color{white} --}\binom{2}{0}\binom{2}{1}\binom{2}{2}\\ {\color{white} -}\binom{3}{0}\binom{3}{1}\binom{3}{2}\binom{3}{3}\\ \binom {4}{0}\binom{4}{1}\binom{4}{2}\binom{4}{3}\binom{4}{4}" /></a><div><br /></div><div>Los valores correspondientes son:</div><div><br /></div><div>           1</div><div>         1   1</div><div>      1   2   1</div><div>    1   3   3   1</div><div> 1   4   6   4   1</div><div><br /></div><div>Copien la tabla en la carperta con 3 filas más.</div><div><br /></div><div>Ambas tablas triangulares (la formada por los números combinatorios y la de los valores), se llaman <span class="Apple-style-span" style="font-weight: bold;">Triángulo de Tartaglia</span></div><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/9178872649087511798-4713796365278837391?l=roberprof6.blogspot.com' alt='' /></div>roberprofnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9178872649087511798.post-51014158550352920592009-03-24T03:21:00.000-07:002009-03-31T02:24:14.201-07:00<div>Una aplicación inmediata de los números combinatorios se presenta en el desarrollo de la potencia de un binomio, con exponente natural, conocido como fórmula del binomio de Newton, y está dada por:</div><div><br /></div><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\left%20(a@plus;b%20\right%20)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left%20(a+b%20\right%20)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k" title="\left (a+b \right )^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k" /></a><div><br /></div><div>Ejemplo:</div><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\left%20(a@plus;b%20\right%20)^3=\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}a^{3-k}b^k=a^3@plus;3.a^2b@plus;3.ab^2@plus;b^3" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left%20(a+b%20\right%20)^3=\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}a^{3-k}b^k=a^3+3.a^2b+3.ab^2+b^3" title="\left%20(a+b%20\right%20)^3=\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}a^{3-k}b^k=a^3+3.a^2b+3.ab^2+b^3" /></a><br /><div><br /></div><div>Ejercicios:</div><div><br /></div><div><ol><li>Desarrollar por el binomio de Newton  <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\left%20(a@plus;b%20\right%20)^5" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left%20(a+b%20\right%20)^5" title="\left (a+b \right )^5" /></a>.</li><li>Desarrollar por el binomio de Newton  <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\left%20(x@plus;\frac{1}{y}%20\right%20)^3" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left%20(x+\frac{1}{y}%20\right%20)^3" title="\left (x+\frac{1}{y} \right )^3" /></a>.</li><li>Obtener los siguientes números combinatorios:<br />a) </li><li><br /></li></ol></div><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/9178872649087511798-5101415855035292059?l=roberprof6.blogspot.com' alt='' /></div>roberprofnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9178872649087511798.post-67077908077626989402009-03-19T03:15:00.000-07:002009-03-31T02:24:43.980-07:00Definición<br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\binom{m}{n}%20=%20\frac{m!}{\left%20(m-n%20\right%20)!.n!}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{n}%20=%20\frac{m!}{\left%20(m-n%20\right%20)!.n!}" title="\binom{m}{n} = \frac{m!}{\left (m-n \right )!.n!}" /></a><br /><br />Propiedades del número combinatorio<br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\binom{m}{0}%20=%20\frac{m!}{\left%20(m-0%20\right%20)!.0!}=\frac{m!}{m!}=1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{0}%20=%20\frac{m!}{\left%20(m-0%20\right%20)!.0!}=\frac{m!}{m!}=1" title="\binom{m}{0} = \frac{m!}{\left (m-0 \right )!.0!}=\frac{m!}{m!}=1" /></a><br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\binom{m}{1}=\frac{m!}{\left%20(m-1%20\right%20)!.1!}=\frac{m.\left%20(m-1%20\right%20)!}{\left%20(m-1%20\right%20)!}=m" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{1}=\frac{m!}{\left%20(m-1%20\right%20)!.1!}=\frac{m.\left%20(m-1%20\right%20)!}{\left%20(m-1%20\right%20)!}=m" title="\binom{m}{1}=\frac{m!}{\left (m-1 \right )!.1!}=\frac{m.\left (m-1 \right )!}{\left (m-1 \right )!}=m" /></a><br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\binom{m}{m}=\frac{m!}{\left%20(m-m%20\right%20)!.m!}=\frac{m!%20}{m!}=1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{m}=\frac{m!}{\left%20(m-m%20\right%20)!.m!}=\frac{m!%20}{m!}=1" title="\binom{m}{m}=\frac{m!}{\left (m-m \right )!.m!}=\frac{m! }{m!}=1" /></a><br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\binom{m}{m-1}=m" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{m-1}=m" title="\binom{m}{m-1}=m" /></a><br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}" title="\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}" /></a><br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\binom{n-1}{k-1}@plus;\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}" title="\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}" /></a><span class="Apple-style-span" style="color: rgb(0, 0, 238); text-decoration: underline;"><br /></span><div><br /></div><div><a href="http://5767075346881181094-a-1802744773732722657-s-sites.googlegroups.com/site/roberprof/Home/Propiedades.pdf?attredirects=0&amp;auth=ANoY7cqErweoNQlroSvpam9eOhzl3xWIsICMT8vi-pJ3uXyu5Ln8nYKGO3S4ihBLDbBcwfrgJcwjywsac-K0vqBjpARe4MO0_5F2k-CAtXQIHF3yy5iJ2r0DyhgTv5WU-aPAxPn9LULtljRjmS10cSRmFqJ9wXQRZTUdTOjC022qoqtj_enB8KXhgLkQ9kvLO0WvdPSvJlkebXwlwAduZc1MleMI4Bin1g%3D%3D">Demostración de la propiedad (en pdf)</a></div><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/9178872649087511798-6707790807762698940?l=roberprof6.blogspot.com' alt='' /></div>roberprofnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9178872649087511798.post-87429363333711773272009-03-18T14:07:00.001-07:002009-03-24T04:54:49.478-07:00El símbolo de sumatoria se utiliza para abreviar la notación de una suma cuyos términos admiten cierta ley de formación. En el ejemplo la variable es i, la ley de formación está dada por el cuadrado de la variable desde uno hasta cuatro.<br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\sum_{i=1}^{4}i^2=%201^2@plus;2^2@plus;3^2@plus;4^2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{i=1}^{4}i^2=%201^2+2^2+3^2+4^2" title="\sum_{i=1}^{4}i^2= 1^2+2^2+3^2+4^2" /></a><div><br /></div><div>El ejemplo anterior se lee "la sumatoria de i cuadrado con i variando desde 1 a 4"</div><div><br /></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-weight: bold;">Ejemplos:</span></div><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\sum_{i=2}^{5}2i=2.2@plus;2.3@plus;2.4@plus;2.5=28" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{i=2}^{5}2i=2.2+2.3+2.4+2.5=28" title="\sum_{i=2}^{5}2i=2.2+2.3+2.4+2.5=28" /></a><br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\sum_{h=0}^{6}2^h=2^0@plus;2^1@plus;2^2@plus;2^3@plus;2^4@plus;2^5@plus;2^6=127" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{h=0}^{6}2^h=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6=127" title="\sum_{h=0}^{6}2^h=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6=127" /></a><div><br /></div><div>Propiedades de la sumatoria:</div><div><br /></div><div><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\sum_{i=1}^{n}\left%20(a_i@plus;b_i%20\right%20)=\sum_{i=1}^{n}a_i@plus;\sum_{i=1}^{n}b_i" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{i=1}^{n}\left%20(a_i+b_i%20\right%20)=\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{i=1}^{n}b_i" title="\sum_{i=1}^{n}\left (a_i+b_i \right )=\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{i=1}^{n}b_i" /></a><br /></div><div><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\sum_{i=1}^{n}\left%20(K.a_i%20\right%20)=K.\sum_{i=1}^{n}a_i" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{i=1}^{n}\left%20(K.a_i%20\right%20)=K.\sum_{i=1}^{n}a_i" title="\sum_{i=1}^{n}\left (K.a_i \right )=K.\sum_{i=1}^{n}a_i" /></a><br /></div><div><br /></div><div>Una fórmula importante:</div><div><br /></div><div><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\sum_{i=1}^{n}%20i=\frac{n.\left%20(n@plus;1%20\right%20)}{2}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{i=1}^{n}%20i=\frac{n.\left%20(n+1%20\right%20)}{2}" title="\sum_{i=1}^{n} i=\frac{n.\left (n+1 \right )}{2}" /></a><br /></div><div><br /></div><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/9178872649087511798-8742936333371177327?l=roberprof6.blogspot.com' alt='' /></div>roberprofnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9178872649087511798.post-42213988858285038522009-03-17T15:11:00.000-07:002009-03-18T15:20:21.962-07:00<ol><li>Se distribuyen tres regalos distintos entre 5 chicos. De cuántas formas pueden hacerlo si:<br />a) Cada chico puede recibir sólo un regalo.<br />b) A cada chico le puede tocar más de un regalo.<br />c) Cada chico puede recibir sólo un regalo pero los tres regalos son idénticos.</li><li>En un barracón de un cuartel hay 16 soldados. ¿Cuántas guardias diferentes de tres soldados se pueden formar? Uno de los soldados se llama Juan. ¿En cuántas de estas guardias estará Juan?</li><li>En un plano hay rectas que no son paralelas, ni concurren tres en un mismo punto. Si el número de intersecciones es 55. ¿Cuántas rectas hay?</li></ol><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/9178872649087511798-4221398885828503852?l=roberprof6.blogspot.com' alt='' /></div>roberprofnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9178872649087511798.post-65067597326965207292009-03-16T15:06:00.000-07:002009-03-18T15:10:59.357-07:00<ol><li>Cón los dígitos 2, 3, 5 y 7.<br />a) ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar?<br />b) ¿Y si las cuatro cifras deben ser diferentes?<br />c) ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar?</li><li>Con 21 consonantes y 5 vocales:<br />a) ¿Cuántas palabras de 3 letras distintas pueden formar?<br />b) ¿Y si la letra central ha de ser vocal y las otras consonantes?</li></ol><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/9178872649087511798-6506759732696520729?l=roberprof6.blogspot.com' alt='' /></div>roberprofnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9178872649087511798.post-4607884404912105842009-03-12T15:03:00.000-07:002009-03-18T15:05:40.461-07:00<div><div><ol><li>Si en un colectivo hay 10 asientos vacíos. ¿De cuántas formas pueden sentarse 7 personas?</li><li>¿De cuántas formas pueden sentarse 5 personas en una fila?</li><li>Un estudiante para aprobar un examen que consta de 10 preguntas,  debe contestar 7 de ellas. ¿De cuántas maneras puede hacer la selección para aprobar el examen?</li><li>En un edificio en el que viven 25 personas adultas hay que formar una comisión interna de 3 personas. ¿Cuántas comisiones distintas pueden formarse?</li><li>En un grupo de 18 alumnos  hay que formar un grupo de 6.<br />a) ¿De cuántas maneras puede hacerse?<br />b) ¿De cuántas maneras puede hacerse sabiendo que un alumno en particular, Fernando, debe integrar el grupo?<br />c) ¿De cuántas maneras puede hacerse excluyendo a Fernando?</li><li>¿De cuántas maneras pueden alinearse 10 personas sabiendo que 3 de ellas deben estar juntas?</li></ol></div></div><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/9178872649087511798-460788440491210584?l=roberprof6.blogspot.com' alt='' /></div>roberprofnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9178872649087511798.post-17873005161345872562009-03-10T14:38:00.000-07:002009-03-24T04:53:58.742-07:00Permutaciones con repetición<br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=Pr^{n}_{a,b,c}=\frac{n!}{a!.b!.c!}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?Pr^{n}_{a,b,c}=\frac{n!}{a!.b!.c!}" title="Pr^{n}_{a,b,c}=\frac{n!}{a!.b!.c!}" /></a><br /><br />Variaciones con repetición<br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=Vr^{m}_{n}=m^n" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?Vr^{m}_{n}=m^n" title="Vr^{m}_{n}=m^n" /></a><br /><br />Combinaciones con repetición<br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=Cr^{m}_{n}=C^{m@plus;n-1}_{n}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?Cr^{m}_{n}=C^{m+n-1}_{n}" title="Cr^{m}_{n}=C^{m+n-1}_{n}" /></a><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/9178872649087511798-1787300516134587256?l=roberprof6.blogspot.com' alt='' /></div>roberprofnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9178872649087511798.post-12758584458942556072009-03-05T14:26:00.000-08:002009-03-18T15:06:30.116-07:00<ol><li>¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 4 personas en 5 sillas?</li><li>¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 6 personas en 5 sillas?</li><li>¿Cuántas palabras de tres letras distintas (no importa el significado) se pueden formar con las letras de la palabra LOMA?</li><li>¿Cuántas palabras de tres letras (no importa el significado) se pueden formar con las letras de la palabra LOMA? Escriban todas ellas en forma ordenada.<br /></li><li>¿Cuántas palabras de cuatro letras (no importa el significado) se pueden formar con las letras de la palabra LOMA?<br /></li><li>¿Cuántos equipos de fútbol distintos se pueden formar con 16 jugadores y 2 arqueros?</li><li>¿Cuántos equipos de fútbol distintos se pueden formar con 16 jugadores y 2 arqueros, sabiendo que 3 jugadores son titulares indiscutidos?<br /></li><li>¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?</li><li>¿Cuántos números pares de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?<br /></li><li>¿Cuántos números pares de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?<br /></li></ol><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/9178872649087511798-1275858445894255607?l=roberprof6.blogspot.com' alt='' /></div>roberprofnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9178872649087511798.post-21937447552800807552009-03-04T14:30:00.000-08:002009-03-18T15:47:21.312-07:00Usaremos la combinatoria para encontrar el número de posibilidades que surgen de obtener distintas agrupaciones de ciertos elementos.<div><br /></div><div>Permutaciones</div><div><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=P_{n}=n!" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_{n}=n!" title="P_{n}=n!" /></a><br /></div><div><br /></div><div>Variaciones</div><div><br /></div><div><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=V^m_{n}=\frac{m!}{\left%20(m-n%20\right%20)!}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?V^m_{n}=\frac{m!}{\left%20(m-n%20\right%20)!}" title="V^m_{n}=\frac{m!}{\left (m-n \right )!}" /></a><br /></div><div><br /></div><div>Combinaciones</div><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=C^m_{n}=\frac{m!}{\left%20(m-n%20\right%20)!.n!}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?C^m_{n}=\frac{m!}{\left%20(m-n%20\right%20)!.n!}" title="C^m_{n}=\frac{m!}{\left (m-n \right )!.n!}" /></a><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/9178872649087511798-2193744755280080755?l=roberprof6.blogspot.com' alt='' /></div>roberprofnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9178872649087511798.post-61275528566910050402009-03-03T14:48:00.000-08:002009-03-18T14:53:16.159-07:00El factorial de un número natural n se define como el producto de todos los números naturales desde 1 hasta n.<br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=n!=n.\left%20(n-1%20\right%20).\left%20(n-2%20\right%20).%20\cdots%20.3.2.1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?n!=n.\left%20(n-1%20\right%20).\left%20(n-2%20\right%20).%20\cdots%20.3.2.1" title="n!=n.\left (n-1 \right ).\left (n-2 \right ). \cdots .3.2.1" /></a><br /><br />El factorial de cero se define como 1.<br /><br /><a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=0!=1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?0!=1" title="0!=1" /></a><br /><br />Ejemplos:<br /><br />4! = 4.3.2.1 = 24<br />7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040<div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/9178872649087511798-6127552856691005040?l=roberprof6.blogspot.com' alt='' /></div>roberprofnoreply@blogger.com0